Probabilidade cumulativa

A probabilidade cumulativa é uma forma de medir a probabilidade de um evento aleatório já ter ocorrido pelo menos uma vez após um certo número de tentativas, ou rolos.

Conteúdo

• 1 exemplo motivador
• 2 Função de probabilidade cumulativa
• 3 exemplos no impacto de Genshin
  • 3.1 Sistema de desejos
    • 3.1.1 Incorporando taxas de pena
    • 3.1.2 Personagens do Evento
      • 3.1.2.1 Personagem de evento promocional de 5 estrelas
      • 3.1.2.2 Personagem de evento promocional de 4 estrelas
        • 3.1.2.2.1 Qualquer personagem de evento de 4 estrelas
        • 3.1.2.2.2 Um caractere de evento de 4 estrelas particular
    • 3.1.3 Personagens Wanderlust
    • 3.1.4 armas de evento
  • 3.2 Chefes e Domínios
• 4 Propriedades da função de probabilidade cumulativa
  • 4.1 Convergência Independente de Taxa
  • 4.2 Sorte e a falácia do jogador
    • 4.2.1 Relação com a monetização
• 5

Exemplo Motivador

Por exemplo, depois de rolar um dado de 6 lados uma vez, a probabilidade de que um 6 tenha aparecido pelo menos uma vez é agora , ou 16.66%. No entanto, a probabilidade depois de rolar uma segunda vez é não . Uma boa maneira de entender isso é imaginar 100 jogadores cada um com um dado de 6 lados. Após um lançamento, o número de jogadores quem tirou pelo menos um 6 é cerca de 17%, como observado acima, então vamos tirar esses 17 jogadores do jogo. Agora apenas 83 jogadores permanecer. Uma vez que todos eles rolem pela segunda vez, esperamos que outros 16.66% desses jogadores tenham tirado um 6 - mas, agora que há menos jogadores, o número que temos de remover também é menor, apenas cerca de 13. Da mesma forma em no terceiro lançamento, esperamos apenas 11 ou 12 novos jogadores para lançar um 6, no quarto lançamento apenas 9, 7 no quinto lançamento e assim por diante. Enquanto o total número de jogadores que lançaram pelo menos um seis aumenta cada rodada, totalizando 56.5% na rodada 5, o número de novo jogadores que se juntam a esse grupo a cada rodada diminui de forma exponencial.

Especificamente, a probabilidade de rolar um 6 pelo menos uma vez em x jogadas é 1 menos a probabilidade de não rolar um 6 em tudo:

onde .

Função de probabilidade cumulativa

Para expressar esse fenômeno matematicamente, podemos usar a seguinte fórmula: [1]

onde é o Probabilidade cumulativa que um evento já ocorreu, é o taxas em que esse evento ocorre, e é o número de rolos que ocorreram até agora. Rolos negativos não têm sentido por definição, então a função de probabilidade é sempre zero aqui.

Para dar sentido a essa fórmula, é útil reorganizá-la. Na maioria das vezes, estamos interessados ​​em saber qual valor dá uma probabilidade cumulativa particular. Isso é útil porque nos diz quantas jogadas são necessárias antes que um evento provavelmente ocorra. Podemos querer saber quantos rolos antes de atingir 50%, 90% ou 99% ou qualquer outro valor arbitrário. A fórmula pode ser reorganizada da seguinte forma para nos dar este resultado:

Onde é o número de rolos necessários para alcançar , o que pode ser pensado como um nível de certeza de que um evento já terá acontecido pelo menos uma vez, expresso como uma fração de 1. Portanto, para um valor de 0.5, você esperaria que se 100 pessoas "rolassem um dado" várias vezes, 50 deles teriam encontrado o resultado no qual você está interessado (aquele com probabilidade ) pelo menos uma vez. Por exemplo, o número de testes necessários para obter uma certa chance cumulativa (alguns dados valor) ao lançar "um" em alguns tamanhos de dados comuns, conforme encontrado usando esta fórmula, são os seguintes:

Exemplos de impacto de Genshin

Wish System

O sistema de desejos de Genshin Impact é uma série de eventos aleatórios, compostos de vários resultados, cada um com uma probabilidade única de ocorrer toda vez que um desejo é feito. Isso significa que podemos aplicar o modelo matemático desenvolvido acima para determinar valores interessantes, como quantos desejos seriam necessários antes que 50% dos jogadores obtivessem um determinado resultado. Para fazer isso, vamos primeiro detalhar o que acontece cada vez que um desejo é feito. Primeiro, a raridade do desejo é determinada - sendo 5 *, 4 * ou 3 *. Assim que a raridade for determinada, um dos itens da tabela de saque especificada é selecionado e esse item é o resultado final do desejo. Para determinar a taxa de um item específico em uma tabela, precisamos apenas dividir a taxa em que a tabela aparece pelo número de itens nessa tabela. Para um tratamento mais detalhado das taxas de itens em níveis de raridade específicos em todos os diferentes banners de desejos, consulte a página sobre probabilidades de desejo expandidas.

Usando essas taxas, podemos determinar quantos testes são necessários para atingir uma certa probabilidade cumulativa de ter adquirido um certo item pelo menos uma vez.

Incorporando taxas de pena

No entanto, as taxas básicas para itens de quatro e cinco estrelas não contam toda a história. Taxas de pena, ou garantias, podem afetar o cálculo drasticamente. Essencialmente, eles fazem a função de probabilidade cumulativa descontínuo alterando a taxa em que os itens aparecem periodicamente, desde que nenhum item do nível especificado tenha sido convocado após jogadas suficientes. Existem várias maneiras de compensar isso. No jogo, uma segunda taxa - chamada de Taxa média, incluindo garantias, é exibido ao lado da taxa básica. Pode-se substituir a taxa básica por essa taxa média ajustada e os resultados seriam mais precisos. A abordagem mais precisa seria usar a taxa básica, mas segmentar a função nos intervalos em que ocorrem as taxas de piedade. No entanto, isso tem o resultado indesejável de exigir mais computação e criar uma função descontínua. Ele também perde alguma precisão ao trabalhar com probabilidades de subcategoria, já que parte dos jogadores que atingem o limite da taxa de pena já terá convocado um item da camada desejada, apoiando assim o contador de pena, mas não o item desejado; e não é trivial adicionar etapas descontínuas de pena em cada jogada subsequente para estimar quando o contador pode ter sido zerado. Portanto, uma solução analítica pura não é possível - você só pode calcular um limite superior ou inferior aproximado analiticamente.

O resultado mais desejável seria uma simulação computacional completa que poderia então ser comparada aos vários métodos analíticos.

Personagens de Eventos

Personagem de evento promocional de 5 estrelas

Para um Personagem de evento 5 estrelas promocional, a taxa básica é de 0.3% (taxa básica de cinco estrelas dividida por dois, pois há 50% de chance de invocar o personagem de evento 5 estrelas cada vez que ocorre uma invocação 5 estrelas). Há também um mecanismo de pena no local, de modo que se uma invocação de 5 estrelas não ocorreu dentro de 89 invocações, a seguinte invocação é garantida como uma invocação de 5 estrelas. Combinados, esses dois mecanismos de pena garantem que, no máximo, 180 desejos são necessários para invocar um personagem promocional de 5 estrelas. Uma solução analítica que ignora a primeira mecânica da piedade (a garantia) pode ser vista no gráfico a seguir.

A razão pela qual esta solução analítica ignora a garantia é que ela altera a taxa em que os eventos ocorrem (de 0.3% do tempo, metade de todos os 5 * pulls, para 0.6% do tempo, 100% de todos os 5 * pulls). A forma como isso afeta a taxa em que os eventos ocorrem na prática não é trivial: é óbvio que na primeira jogada, a taxa será de 0.3% para todos, e que na 90ª jogada, a taxa será de 0.6% para todos os jogadores restantes. No entanto, para determinar como a taxa média muda ao longo dos primeiros 89 rolos, seria necessário resolver uma equação diferencial. No entanto, podemos evitá-lo completamente e obter um resultado mais preciso, realizando uma simulação.

Como já foi explicado, a mecânica da pena torna muito difícil encontrar uma solução analítica significativa para o nosso problema. Para superar isso, podemos realizar uma simulação de um grande número de rolos e analisar os resultados empiricamente ou compará-los com nossa solução analítica. Porque o número retornado pela função de probabilidade cumulativa representa a porcentagem de uma determinada população que esperamos ter experimentado um resultado pelo menos uma vez após número de jogadas, podemos simular os resultados desta função pegando uma grande "população" de indivíduos simulados e jogando com cada um até que atinjam o resultado desejado ou o número máximo de jogadas. Em seguida, somamos o número de pessoas que alcançaram o resultado em qualquer etapa com aquelas que já alcançaram o resultado, criando uma curva que mostra quando cada membro de nossa população atingiu o resultado desejado. Abaixo você pode ver as respectivas curvas de duas dessas simulações, uma com dez mil indivíduos simulados e outra com cem.

Esta simulação continha 10 "indivíduos". Cada um rolou números aleatórios até obter o caractere de banner 000 *, levando em consideração tanto a garantia de que o segundo 5 * puxado será o personagem de banner, quanto a regra da pena de 5 rolagens.Este gráfico mostra as mesmas informações, mas para dez execuções de apenas 100 indivíduos simulados. Aqui, as curvas são visivelmente irregulares e cada uma é substancialmente diferente da anterior, pois a natureza aleatória da simulação não foi "espalhada" por tantas amostras.

A grande lição dessas simulações é a seguinte:

• A solução analítica é subestimada na maioria das vezes, mostrando quase 30% da população atingindo a segunda pena, enquanto as simulações mostram que apenas cerca de 20% dos indivíduos simulados farão todo o caminho até o 180º desejo / rolo sem ter recebeu o caractere de banner 5 * pelo menos uma vez. Isso acontece principalmente porque não contabilizamos a variação da alíquota, de 0.3% para 0.6%.
• A solução analítica mostra uma parcela maior da população recebendo pena no 90º rolo (perto de 60%) do que realmente recebe (perto de 55% nas simulações). Este é o único caso de superestimativa na solução analítica, e isso acontece porque não contabilizamos pessoas que podem ter recebido um 5 * (mas não o caractere banner) em algum ponto entre a 1ª e a 90ª jogadas, e, portanto, não são elegíveis para piedade no 90º lançamento. Você verá, no entanto, que a curva nas simulações aumenta muito mais rapidamente após o 90º lançamento, porque esses indivíduos estão recebendo sua própria pena um pouco mais tarde do que todos os outros.
• Mesmo em um ambiente de simulação, ainda existem grandes picos nos 90º e 180º desejos. Isso ocorre porque grandes porções da população simulada estão acionando a mecânica da piedade; a pena, que é desencadeada após 90 desejos malsucedidos, ocorre quando esperamos que apenas cerca de 30% da população tenha convocado qualquer 5 *. Isso significa que quando um jogador chega a ter pena, ele não é "azarado" se definirmos que ter sorte é alcançar o resultado desejado antes de 50% dos outros participantes em uma determinada população. Cerca de dois terços dos jogadores sempre alcançam a piedade. Isso é o que torna o Taxa média, incluindo garantias, enganoso. Embora essa taxa seja a média ao longo de um grande número de lançamentos, se você implementar uma regra de parada (um jogador para de lançar após obter o item desejado), a taxa real é sempre mais baixa (porque, a menos que você termine em um teste de pena, haverá sempre tenha alguma pena que você não alcançou).
• Notavelmente, cerca de 20% da população não receberá o personagem banner 5 * até o 180º lançamento. Isso significa que, se você se comprometer a rolar até obter um certo personagem de banner, terá uma chance em cinco de "ir até o fim" para a segunda piedade. Da mesma forma, há uma chance em cinco de você puxar o personagem entre os testes 1 e 89; e nos três quintos restantes do tempo, você puxará o personagem na primeira pena, ou entre os lançamentos 91 e 179, dividido igualmente.

Personagem de evento promocional de 4 estrelas

Resolver as densidades de probabilidade para os personagens de 4 estrelas é, em geral, mais complicado do que os personagens de 5 estrelas. Isso ocorre porque o pool de personagens é maior, sempre há armas no pool e não há garantia de obtenção de algum personagem 4 estrelas em particular. No entanto, para resolver a probabilidade cumulativa de obter pelo menos um de qualquer caractere de evento de 4 estrelas, o processo é o mesmo que para o personagem de evento de 5 estrelas, mas com taxas diferentes nas fórmulas. Portanto, essa informação é relativamente fácil de obter (precisamos apenas repetir os passos acima). Para personagens de 4 estrelas, também é mais provável que estejamos interessados ​​em quantos deles teremos a probabilidade de obter com uma quantidade fixa de desejos, geralmente 90 ou 180; porque, no contexto de obtenção de um personagem 5 *, eles são recompensas de bônus. Portanto, examinaremos esse problema também.

Qualquer personagem de evento de 4 estrelas

Se não estivermos preocupados em obter um determinado personagem de 4 estrelas, a matemática é muito mais simples. Se estivermos interessados ​​em quantos desejos serão necessários para obter pelo menos um personagem de 4 estrelas, as fórmulas são as mesmas do personagem de 5 estrelas, mas as taxas são ligeiramente diferentes. À direita está um gráfico de uma simulação com 10 indivíduos, com as taxas e o contador de piedade ajustados para refletir os personagens de 000 estrelas.

Como esperado, a curva é muito semelhante à curva do personagem de evento 5 estrelas, mas em um número muito menor de desejos. Os pontos de corte lamentáveis ​​acontecem em porcentagens populacionais muito semelhantes, no entanto, o que não é um resultado trivial; isso indica que as taxas e contagens de pena foram escolhidas intencionalmente para cortar na mesma porcentagem esperada da população (cerca de 30%) para itens de 5 e 4 estrelas.

Um personagem de evento de 4 estrelas em particular

Personagens Wanderlust

Armas de evento

Chefes e Domínios

Propriedades da função de probabilidade cumulativa

Convergência Independente de Taxa

Sorte e a falácia do jogador

Relação com a monetização

1. ↑ https: //en.web pagepedia.org/web page / Cumulative_distribution_function # Exemplos

Número de jogadas necessárias para obter uma determinada probabilidade cumulativa em vários tamanhos diferentes de dados Tipo de Dados 50%

Chance cumulativa

(y = 0.5)

90%

Chance cumulativa

(y = 0.9)

99%

Chance cumulativa

(y = 0.99)

Gráfico de dados de 6 lados 4.16 13.82 27.63

8-sided dice 5.54 18.42 36.84 10-sided dice 6.93 23.03 46.05 20-sided dice 13.86 46.05 92.10 100-sided dice 69.31 230.26 460.52